Дисперсия — это один из ключевых понятий в статистике, который позволяет количественно оценить разброс значений в выборке. Она отражает, насколько данные распределены вокруг среднего значения. В этой статье будет рассмотрено определение дисперсии, её виды, способы расчёта и практические примеры.

Определение дисперсии

Дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадрата отклонений каждого значения от среднего. Она используется для анализа вариации данных и помогает исследователям и аналитикам понять, насколько сильно данные варьируются.

Формально дисперсия определяется как:

D=1N∑i=1N(xi−xˉ)2D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i — \bar{x})^2D=N1​i=1∑N​(xi​−xˉ)2

где:

• $D$ — дисперсия,
• $N$ — количество значений в выборке,
• xix_ixi​ — отдельное значение,
• xˉ\bar{x}xˉ — среднее значение выборки.

Виды дисперсии

Дисперсия может быть разделена на несколько видов в зависимости от контекста её применения.

1. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия используется, когда данные представляют собой выборку из более крупной популяции. Она рассчитывается по формуле:

S2=1N−1∑i=1N(xi−xˉ)2S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i — \bar{x})^2S2=N−11​i=1∑N​(xi​−xˉ)2

где S2S^2S2 — выборочная дисперсия.

2. Дисперсия генеральной совокупности

Дисперсия генеральной совокупности применяется, когда данные представляют всю популяцию. Формула расчёта такая же, как и для дисперсии, но деление идёт на $N$:

D=1N∑i=1N(xi−μ)2D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i — \mu)^2D=N1​i=1∑N​(xi​−μ)2

где $\mu$ — среднее значение генеральной совокупности.

3. Популяционная и выборочная дисперсия

• Популяционная дисперсия применяется, когда известна вся совокупность значений.
• Выборочная дисперсия используется, когда данные получены из выборки, что позволяет избежать смещения при оценке.

Как рассчитать дисперсию: пошаговая инструкция

Для расчёта дисперсии следует выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найти среднее значение

Необходимо найти среднее значение выборки:

xˉ=∑i=1NxiN\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}xˉ=N∑i=1N​xi​​

Шаг 2: Вычислить отклонения от среднего

Для каждого значения необходимо вычислить отклонение от среднего значения:

di=xi−xˉd_i = x_i — \bar{x}di​=xi​−xˉ

Шаг 3: Квадрат отклонений

Вычислить квадрат каждого отклонения:

di2=(xi−xˉ)2d_i^2 = (x_i — \bar{x})^2di2​=(xi​−xˉ)2

Шаг 4: Найти среднее квадратов отклонений

Теперь необходимо вычислить среднее значение квадратов отклонений:

D=1N∑i=1Ndi2илиS2=1N−1∑i=1Ndi2D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} d_i^2 \quad \text{или} \quad S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} d_i^2D=N1​i=1∑N​di2​илиS2=N−11​i=1∑N​di2​

в зависимости от того, какая дисперсия рассчитывается.

Пример расчета дисперсии

Для лучшего понимания процесса расчета дисперсии рассмотрим практический пример.

Данные

Рассмотрим выборку из 5 значений: 3, 5, 7, 9, 11.

Шаг 1: Найти среднее значение

xˉ=3+5+7+9+115=355=7\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7xˉ=53+5+7+9+11​=535​=7

Шаг 2: Вычислить отклонения от среднего

d1=3−7=−4d_1 = 3 — 7 = -4d1​=3−7=−4 d2=5−7=−2d_2 = 5 — 7 = -2d2​=5−7=−2 d3=7−7=0d_3 = 7 — 7 = 0d3​=7−7=0 d4=9−7=2d_4 = 9 — 7 = 2d4​=9−7=2 d5=11−7=4d_5 = 11 — 7 = 4d5​=11−7=4

Шаг 3: Квадрат отклонений

d12=(−4)2=16d_1^2 = (-4)^2 = 16d12​=(−4)2=16 d22=(−2)2=4d_2^2 = (-2)^2 = 4d22​=(−2)2=4 d32=(0)2=0d_3^2 = (0)^2 = 0d32​=(0)2=0 d42=(2)2=4d_4^2 = (2)^2 = 4d42​=(2)2=4 d52=(4)2=16d_5^2 = (4)^2 = 16d52​=(4)2=16

Шаг 4: Найти среднее квадратов отклонений

Для выборочной дисперсии:

S2=15−1(16+4+0+4+16)=404=10S^2 = \frac{1}{5 — 1} (16 + 4 + 0 + 4 + 16) = \frac{40}{4} = 10S2=5−11​(16+4+0+4+16)=440​=10

Для дисперсии генеральной совокупности:

D=15(16+4+0+4+16)=405=8D = \frac{1}{5} (16 + 4 + 0 + 4 + 16) = \frac{40}{5} = 8D=51​(16+4+0+4+16)=540​=8

Результаты

• Выборочная дисперсия: 10
• Дисперсия генеральной совокупности: 8

Таблица расчета дисперсии

Значение xix_ixi​	Отклонение did_idi​	Квадрат отклонения di2d_i^2di2​
3	-4	16
5	-2	4
7	0	0
9	2	4
11	4	16
Сумма		40

Применение дисперсии в практике

Дисперсия имеет широкое применение в различных областях, таких как:

• Финансовый анализ: оценка риска инвестиций.
• Психология: анализ данных опросов и тестов.
• Научные исследования: определение вариабельности результатов экспериментов.

Пример использования в финансовом анализе

В финансовом анализе дисперсия помогает определить риск вложений. Например, при оценке доходности акций, высокая дисперсия может указывать на значительную нестабильность, тогда как низкая дисперсия говорит о более предсказуемых доходах.

Пример использования в научных исследованиях

В научных исследованиях дисперсия помогает оценить точность и воспроизводимость данных. Например, если в ходе эксперимента получены данные с высокой дисперсией, это может указывать на влияние внешних факторов, которые следует учитывать.

Заключение

Дисперсия является важным статистическим инструментом для анализа данных и их вариации. Понимание её принципов и способов расчёта может существенно помочь в исследованиях и принятии обоснованных решений. Изучение дисперсии позволяет не только оценивать разброс значений, но и делать выводы о закономерностях и рисках в различных областях.

Рекомендации по дальнейшему изучению

Для более глубокого понимания дисперсии и её применения рекомендуется ознакомиться с такими понятиями, как стандартное отклонение, корреляция и регрессия. Эти инструменты позволяют ещё более эффективно анализировать данные и принимать решения на их основе.