Формулы и свойства скалярного произведения векторов

Содержание

1. Определение скалярного произведения
2. Свойства скалярного произведения
2.1. Коммутативность
2.2. Ассоциативность
2.3. Дистрибутивность
2.4. Ненегативность
2.5. Условие ортогональности
3. Геометрическая интерпретация
3.1. Визуализация
4. Формулы для вычисления скалярного произведения
4.1. Векторная форма
4.2. Матрицы
5. Применение скалярного произведения
6. Примеры
6.1. Пример 1: Вычисление скалярного произведения
6.2. Пример 2: Угол между векторами
7. Заключение

Скалярное произведение векторов — это один из важнейших понятий в векторной алгебре. Оно находит широкое применение в различных областях математики, физики и инженерии. В данной статье будут рассмотрены основные формулы и свойства скалярного произведения векторов, его геометрическая интерпретация, а также примеры применения.

1. Определение скалярного произведения

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) двух векторов $a\mathbf{a}$ и $b\mathbf{b}$ в трехмерном пространстве определяется как

$a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta$

где:

$∣a∣|\mathbf{a}|$ и $∣b∣|\mathbf{b}|$ — длины векторов $a\mathbf{a}$ и $b\mathbf{b}$ соответственно,
$θ\theta$ — угол между векторами.

Скалярное произведение возвращает число (скаляр), что делает его полезным для различных расчетов.

2. Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение имеет несколько важных свойств, которые позволяют его эффективно использовать в расчетах:

2.1. Коммутативность

Скалярное произведение векторов коммутативно, то есть

$a⋅b=b⋅a\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

2.2. Ассоциативность

Скалярное произведение ассоциативно относительно умножения на скаляр:

$k(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \quad \text{для любого скаляра } k$

2.3. Дистрибутивность

Скалярное произведение является дистрибутивным относительно сложения векторов:

$a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

2.4. Ненегативность

Скалярное произведение вектора самого с собой всегда неотрицательно:

$a⋅a=∣a∣2≥0\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \geq 0$

При этом равенство достигается, когда вектор $a\mathbf{a}$ равен нулю.

2.5. Условие ортогональности

Два вектора $a\mathbf{a}$ и $b\mathbf{b}$ ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю:

$a⋅b=0⇒θ=90∘\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$

3. Геометрическая интерпретация

Геометрически скалярное произведение векторов можно интерпретировать через угол между ними. Когда векторы направлены в одну сторону, их скалярное произведение достигает максимального значения, когда угол между ними равен нулю. Если угол равен $90∘90^\circ$ , скалярное произведение равно нулю, что указывает на ортогональность векторов.

3.1. Визуализация

Для лучшего понимания можно воспользоваться графической интерпретацией. Если векторы $a\mathbf{a}$ и $b\mathbf{b}$ изображены на плоскости, то угол между ними можно визуализировать, а длина проекции одного вектора на другой показывает, как они соотносятся между собой.

4. Формулы для вычисления скалярного произведения

Существует несколько способов вычисления скалярного произведения, в зависимости от представления векторов.

4.1. Векторная форма

Если векторы заданы в координатной форме, например, $a=(a1,a2,a3)\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $b=(b1,b2,b3)\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ , то скалярное произведение можно вычислить по формуле:

$a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

4.2. Матрицы

Для векторов, представленных в виде столбцовых матриц, скалярное произведение может быть выражено как произведение матрицы и вектора:

$a⋅b=aTb\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$

где $aT\mathbf{a}^T$ — транспонированный вектор.

5. Применение скалярного произведения

Скалярное произведение имеет множество практических применений в различных областях науки и техники. Некоторые из них перечислены в таблице ниже.

Чекап: что это и нужно ли его проходить всем?

Область	Применение
Физика	Определение работы сил, направленных вдоль пути.
Компьютерная графика	Вычисление углов между векторами нормалей и света для освещения.
Машинное обучение	Определение схожести между векторами признаков в задачах классификации.
Математика	Решение задач на проекции и расстояния между векторами.

6. Примеры

6.1. Пример 1: Вычисление скалярного произведения

Рассмотрим векторы $a=(2,3,4)\mathbf{a} = (2, 3, 4)$ и $b=(1,0,−1)\mathbf{b} = (1, 0, -1)$ . Найдем их скалярное произведение:

$a⋅b=2⋅1+3⋅0+4⋅(−1)=2+0−4=−2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 2 + 0 — 4 = -2$

6.2. Пример 2: Угол между векторами

Для нахождения угла между векторами $a=(2,0,0)\mathbf{a} = (2, 0, 0)$ и $b=(0,2,0)\mathbf{b} = (0, 2, 0)$ :

Вычисляем скалярное произведение:

$a⋅b=2⋅0+0⋅2+0⋅0=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0$

Угол $θ\theta$ между векторами равен $90∘90^\circ$ .

7. Заключение

Скалярное произведение векторов — это мощный инструмент в математике и других науках, позволяющий решать множество задач. Его свойства, такие как коммутативность и ассоциативность, делают его удобным в использовании. Понимание скалярного произведения и его применения может значительно облегчить работу с векторами в различных контекстах.